排列和组合计算器

组合定义说，它是你可以从包含n个不同对象的集合中选择r元素的方法的数量（这就是为什么这样的问题通常被称为“n选择r”问题）。与排列相反，选择元素的顺序不是必需的（您可以在排列和组合部分中找到对该问题的广泛解释）。

寻找一组对象的每种组合是一个纯粹的数学问题。您可能已经被教导过，例如，如何找到最大的共同因子（GCF）或如何找到最小的共同倍数（LCM）。

想象一下，一个装满十二个球的袋子，每个球都是不同的颜色。你随机选择五个球。你能得到多少组不同的球？或者，换句话说，你可以得到多少种不同的组合？

数学家为许多不同的问题提供了确切的解决方案，在估计上述带球的示例中的组合数量时，是否有类似的方法？

幸运的是，您不必写下所有可能的集合！那么，如何计算组合呢？您可以使用以下组合公式，以便立即确定组合的数量：

C(n,r) = n!/(r!(n-r)!),

条件：

• C(n,r)是组合的数量;
• n是集合中元素的总数;和
• r是从此集合中选择的元素数。

 让我们把这个等式应用到我们的彩色球问题上。我们需要确定有多少种不同的组合：

C(12,5) = 12!/(5! * (12-5)!) = 12!/(5! * 7!) = 792.

您可以使用我们的nCr计算器查看结果。它还将列出所有可能的组合！但是，请注意，792种不同的组合已经有很多需要展示的地方。为了避免生成组合过多的情况，我们将此组合生成器限制为特定的最大组合数（默认为 2000）。您可以随时在高级模式下更改它。

您可能会注意到，根据组合公式，仅选择一个元素的组合数量仅为 。另一方面，如果您必须选择所有元素，则只有一种方法可以做到这一点。让我们用我们的示例检查这个组合属性。您得到的对象总数等于 。nCr计算器中显示的每个字母都代表一个球的不同颜色，例如，A是红色的，B是黄色的，C是绿色的，依此类推。如果您一次只从该集合中选择一个元素，则组合数将为 - 因为有12个不同的球。但是，如果您选择元素，则只有包含每个球的可能组合。自己用n选择r计算器试试吧！nn = 12r = 112r = 121

此时，您可能已经知道了有关组合和组合公式的所有信息。如果您仍然没有足够的内容，在接下来的部分中，我们将详细介绍排列和组合（通常被错误地认为是同一事物），组合概率和线性组合之间的差异。

想象一下，你有一个装满彩色球的袋子，就像上一节中的例子一样。同样，你随机选择五个球，但这次，顺序很重要 - 无论你选择红球作为第一个还是第三个球，这都很重要。让我们举一个更直接的例子，你选择三个球，分别叫R（红色），B（蓝色），G（绿色）。这个集合有六个排列（字母的顺序决定了所选球的顺序）：RBG，RGB，BRG，BGR，GRB，GBR，组合定义说只有一个组合！这是关键的区别。

根据定义，排列是将集合的所有成员重新排列成某种序列或顺序的行为。然而，在文献中，我们经常推广这个概念，并且我们放弃了使用给定集合中所有元素的要求。这就是排列和组合如此相似的原因。这种排列的含义决定了从包含 n 个不同对象的集合中选择和排列 r 元素的方法数。这称为 n 的 r 排列（有时称为变体）。排列公式如下：

P(n,r) = n!/(n-r)!.

这个等式在组合公式中看起来不是很熟悉吗？事实上，如果你知道组合的数量，你可以很容易地计算出排列的数量：

P(n,r) = C(n,r) * r!.

如果您打开此组合计算器的高级模式，您将能够找到排列的数量。

您可能想知道何时应该使用排列而不是组合。好吧，这取决于您是否需要考虑订单。例如，假设您有一副九张牌，数字从1到9。您抽取三张随机卡片并将它们排列在桌子上，创建一个三位数的数字，例如425或837。您可以创建多少个不同的数字？

P(9,3) = 9!/(9-3)! = 9!/6! = 504

使用我们的nCr计算器检查结果！有多少种不同的组合？

C(9,3) = 9!/(3! * (9-3)!) = 9!/(3! * 6!) = 84

组合的数量总是小于排列的数量。这一次，它要小六倍（如果将 84 乘以 ，则得到 504）。它源于这样一个事实，即您选择的每三张牌都可以以六种不同的方式重新排列，就像前面的例子中三个彩色球一样。3! = 6

组合和排列在许多学习领域都是必不可少的。你可以在物理，统计学，金融学，当然还有数学中找到它们。我们还有其他方便的工具可用于这些领域 

为了完成我们对排列和组合的考虑，我们必须引入类似的选择，但这次允许重复。这意味着每次从 n 个不同的对象集中选取一个元素后，都会将其放回该集合。在彩色球的示例中，您从袋子中取出一个球，记住您绘制的那个球，然后将其放回袋子中。类似地，在第二个卡片示例中，您选择一张卡片，记下该卡片上的数字，然后将其放回卡片组。通过这种方式，您可以拥有，例如，组合中的两个红色球或228作为排列。

您可能猜到这两个公式都会变得非常复杂。尽管如此，它并不像计算自制啤酒的酒精含量那么复杂（顺便说一句，您可以使用我们的ABV计算器）。事实上，在排列的情况下，等式变得更加简单。与重复组合的公式如下：

C'(n,r) = (r+n-1)!/(r! * (n-1)!),

对于重复的排列：

P'(n,r) = nr.

在下图中，我们总结了四种类型的对象选择之间的差异：组合，与重复的组合，排列和与重复的排列。这是一个例子，你有四个不同颜色的球，你选择其中三个。在重复选择的情况下，您可以多次选择其中一个球。如果你想尝试排列，要小心，会有成千上万的不同集合！但是，您仍然可以安全地计算其中有多少个（排列处于高级模式）。

让我们从组合概率开始，这是许多统计问题中必不可少的。上图所示的示例应该很容易解释 - 您从袋子中挑选四个彩色球中的三个。假设您想知道其中出现红球的可能性（概率）。有四种不同的组合，红球在其中三个中。组合概率为：

Pr = 3/4 = 75%.

如果你从袋子里随机抽取三个球，在75%的情况下，你会选择一个红色的球。为了表示概率，我们通常使用百分号。 

现在，让我们假设你选择一个球，写下你得到的颜色，然后把它放回袋子里。你得到至少一个红球的组合概率是多少？这是一个“与重复相结合”的问题。从上图中，您可以看到总共有二十种组合，红球在其中十种，因此：

Pr = 10/20 = 50%.

这对你来说是一个惊喜吗？好吧，它不应该是。当您返回第一个球（例如，蓝球）时，您也可以将其绘制为第二个和第三个球。因此，获得红球的机会降低。您可以使用排列进行类比考虑。试着用一袋五颜六色的球来解决一个问题：你第一个捡到的球是红色的概率是多少？

假设您不信任我们，并且想自己进行测试。你从四个球中抽出三个球，然后检查是否有一个红球（如本节的第一个例子）。你又重复了三次这个过程，你只在四种情况下的一种情况下得到红球 - 案件。根据理论，你期望。发生了什么事？好吧，这就是概率的工作原理！有一个大数定律描述了多次执行相同实验的结果。如果您重复绘制，例如，一百次，您将更接近。25%75%75%

更重要的是，大数定律几乎总是导致标准的正态分布，例如，可以用所谓的p值来描述智力或人的身高。在 p 值计算器中，我们解释了如何使用 z 得分表查找 p 值。这听起来可能很复杂，但并不难！

你听说过线性组合吗？事实上，尽管它有“组合”这个词，但它与我们迄今为止所学到的并没有太多的共同点。尽管如此，我们将尝试简要解释一下。线性组合是获取一组项并将每个项乘以一个常量并将结果相加的结果。由于德布罗意方程，它经常在波动物理学中用于预测衍射光栅方程，甚至在量子物理学中也是如此。在这里，您可以看到线性组合的一些常见示例：

1. 向量。3D 中的每个向量都可以分解为三个单位向量，和 。例如，这是线性组合。e₁ = (1,0,0)e₂ = (0,1,0)e₃ = (0,0,1)v = (2,5,3) = 2e₁ + 5e₂ + 3e₃
2. 功能。假设您有两个函数和 .从这两个函数中，您可以创建描述双曲正弦或余弦的线性组合。你可以用正弦和余弦做类似的事情，但是你需要使用虚数。我们在平方根计算器的最后一节中详细介绍它。f(x) = eˣg(x) = e⁻ˣsinh(x) = f(x)/2 - g(x)/2cosh(x) = f(x)/2 + g(x)/2i
3. 多项式。例如，您有三个多项式 ，并且您希望将函数表示为这些多项式的线性组合。并不总是可以这样做，但在这种情况下。p₁(x) = 1p₂(x) = 3x + 3p₃(x) = x² - x + 1q(x) = 2x² + x + 3q(x) = -2p₁(x) + p₂(x) + 2p₃(x)

数学中组合和排列之间的根本区别在于我们是否关心项目的顺序：

• 在排列中，顺序很重要，因此我们按顺序排列项目。
• 在组合中，顺序无关紧要，因此我们从较大的集合中选择一组项目。

如果您已经有一个组合并希望将其转换为排列，则需要对项目集施加顺序，即为您的集合选择一个可能的排序。因此，从项目中选择的项目排列数等于从项目中选择的项目组合数乘以这些项目的排序数量，即通过 。rnrnrr!

如果您已经有一个排列并希望将其转换为组合，则需要删除顺序，即将所有可能的重新排序视为同一对象。因此，从项目中选择的项目组合数等于从项目中选择的项目排列数除以这些项目的排序数量，即通过 。rnrnrr!

如果单词有七个不同的字母，你有排列它们的方法（七个项目的简单排列）。但是，如果某些字母出现多次，则排列数量会减少！例如：7! = 5040

• 如果这个词是“见证”，我们有“S”出现两次，所以我们除以，结果是。7!2! = 22520
• 如果这个词是“某人”，我们有“O”和“E”出现两次，所以我们除以，结果是。7!2! * 2! = 41260
• 如果这个词是“未知的”，我们有“N”三次，所以我们除以，结果是。7!3! = 6840