计算向量运算、分析线性相关性和生成空间
A = (3, 1), B = (1, -2), C = (2, 3)
行列式值: 0
结论: 向量组线性相关
秩: 2
生成空间维度: 2
基向量: A, B
Gram-Schmidt 正交化结果：
U1 = (3, 1)
U2 = (-0.5, -2.5)
向量空间（也称为线性空间）是线性代数中的基本概念，它是由向量组成的集合，满足向量加法和标量乘法的封闭性， 以及一系列公理（交换律、结合律、分配律等）。
| 运算 | 公式 | 描述 | 几何意义 |
|---|---|---|---|
| 向量加法 | \(\vec{a} + \vec{b} = (a_x+b_x, a_y+b_y)\) | 向量对应分量相加 | 平行四边形法则 |
| 点积 | \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y\) | 标量积，表示投影 | \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta\) |
| 叉积 | \(\vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)\) | 向量积，结果垂直于原向量 | \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta\) |
| 模长 | \(|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\) | 向量的长度 | 从原点到向量端点的距离 |
| 夹角 | \(\theta = \cos^{-1} \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \right)\) | 两个向量之间的角度 | 范围：0° 到 180° |
| 投影 | \(\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}\) | 向量a在向量b方向上的投影 | 垂直投影分量 |
一组向量的线性组合：
\(c_1 \vec{v_1} + c_2 \vec{v_2} + \cdots + c_n \vec{v_n}\)
存在不全为零的标量使线性组合为零
\(c_1 \vec{v_1} + \cdots + c_n \vec{v_n} = \vec{0}\)
仅当所有标量为零时线性组合为零
基础概念，用于定义基
一组向量所有线性组合的集合
\(\text{span}\{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \ldots, \vec{v_n}\}\)
线性无关的生成集
空间中的最小生成集
基中向量的个数
空间的内在属性
Gram-Schmidt 正交化过程：
然后单位化：\(\vec{e_i} = \frac{\vec{u_i}}{|\vec{u_i}|}\)
n维实向量空间
标准基：\(\{\vec{e_1}, \vec{e_2}, \ldots, \vec{e_n}\}\)
次数不超过n的多项式集合
基：\(\{1, x, x^2, \ldots, x^n\}\)
m×n矩阵的集合
基：标准矩阵基 \(E_{ij}\)