向量计算器

免费进行2D/3D向量的点积、叉积、模长等矢量运算

加减法 标量乘法 点积(内积) 叉积(外积) 向量模长 单位化 投影
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计算结果

请点击"计算"按钮查看结果

常用向量示例

标准基向量

向量A: (1, 0, 0), 向量B: (0, 1, 0)

点积=0，叉积=(0,0,1)
三维向量示例

向量A: (2, -1, 3), 向量B: (4, 5, -2)

点积=2×4 + (-1)×5 + 3×(-2) = -3
二维平面向量

向量A: (1, 1), 向量B: (-1, 1)

夹角90度，点积=0，叉积模长=2
投影计算

向量A: (3,4), 向量B: (1,0)

A在B上的投影向量=(3,0)，标量投影=3
向量运算定义与公式

两个向量的点积为标量，计算公式为：

A · B = Σ (aᵢ × bᵢ) = |A| × |B| × cos(θ)

其中 θ 是向量 A 和 B 之间的夹角

  • 点积为正表示两个向量方向基本相同
  • 点积为负表示两个向量方向基本相反
  • 点积为零表示两个向量正交

两个向量的叉积为一个新向量，计算公式为：

A × B = (aᵧb_z - a_z bᵧ, a_z bₓ - aₓ b_z, aₓ bᵧ - aᵧ bₓ)
  • 结果向量垂直于原始两个向量构成的平面
  • 其模长等于两个向量张成的平行四边形的面积
  • 结果向量方向遵循右手定则

向量的模长表示其长度，计算公式为：

|A| = √(aₓ² + aᵧ² + a_z²)

模长相关运算：

  • 单位向量：û = A / |A|
  • 投影：projᵦ A = (A · B / |B|) × (B / |B|)
  • 点积相关：A · A = |A|²

即时计算结果

输入向量值即可实时获得精确计算结果，无需等待

可视化呈现

直观的2D/3D图形展示向量及其运算关系

学习辅助

详细公式解释帮助学生理解向量运算原理

强大的免费在线向量计算器

立即开始您的2D、3D向量运算！无需安装软件或下载App，直接在浏览器中快速计算点积（点乘）、叉积（叉乘）、模长（长度）、加法、减法、单位向量、投影以及向量间夹角。精确、直观、易用，是学生、工程师和科研人员的理想数学工具。

主要功能亮点

  • 免费在线： 打开即用，零安装成本。
  • 全面运算： 点积、叉积、模长、加减法、单位化（标准化）、投影、夹角计算一网打尽。
  • 支持2D & 3D： 轻松处理二维平面和三维空间向量。
  • 即时结果： 输入向量，即刻得到精确计算结果。
  • 直观可视化（可选，强烈建议） 在坐标系中展示向量及其运算结果（如叉积向量的方向），助您理解几何关系。
  • 公式参考（可选）： 部分运算提供基础公式说明。
  • 移动友好： 完美适配手机、平板电脑屏幕，随时随地计算。

使用方法

  1. 选择您需要的向量运算（点积、叉积等）。
  2. 在下方输入框，按照格式输入您的向量分量值（例如：对于向量 a = (1, 2, 3)，分别在对应的输入框中输入1, 2, 3）。
  3. 点击“计算”按钮。
  4. 结果将在右侧/下方结果区域清晰显示。
  5. 使用“重置”按钮清除所有输入和结果，开始新的计算。


向量运算的意义与应用

向量是既有大小又有方向的量，广泛应用于物理学（力、速度、位移）、工程学（结构分析、流体力学）、计算机图形学（三维旋转、光线追踪）和机器学习（特征表示）等领域。

  • 点积 (a · b): 衡量两向量相似度及方向相关性，结果是标量。等于 |a||b|cosθ，其中θ为夹角。
  • 叉积 (a × b)： 仅适用于3D向量。结果是一个新向量，垂直于a和b构成的平面，其模长等于 |a||b|sinθ，方向由右手定则确定。常用于求法向量、力矩计算。
  • 模长 (|a|)： 向量的大小或长度。计算方式是各分量平方和开根号。
  • 单位向量： 模长为1的向量，方向与原向量相同。用于表示方向。通过原向量除以其模长得到。
  • 投影： 求一个向量在另一个向量方向上的“影子”长度（标量投影）或该方向的向量（向量投影）。
  • 夹角： 利用点积公式反推计算两向量间的角度。

本工具让这些关键计算变得触手可及。

常见问题 (FAQ)

向量输入格式？
直接在标有x, y, z (或 i, j, k) 的输入框中输入数值即可。
计算时支持分数或表达式吗？
目前主要支持数值计算。如需复杂表达式，建议使用更专业的数学软件。
我的数据安全吗？
是的！所有计算均在您的浏览器本地完成，我们不会收集或存储您输入的向量数据。
结果精确吗？
我们使用高精度浮点运算，但任何数值计算都可能存在极小的舍入误差。对于要求绝对精确的场景，建议使用符号计算。

立即输入您的向量值，体验便捷的在线向量计算！

免责声明：此工具旨在辅助计算和学习，结果仅供参考。请根据具体情境和教材进行验证。

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