双重积分计算器

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双积分计算器：

这个双积分计算器可帮助您评估双变量函数 （f（x， y）） 的定或不定双积分。双积分求解器提供逐步计算，甚至允许您更改积分顺序，从而获得更简单的解决方案。

什么是双积分？

在微积分中，双积分用于计算二维区域（用 R 表示）上两个变量函数（用 f（x， y） 表示）的积分。它不仅有助于找到表面下的体积，还有助于找到质量分布，并计算该区域的通量（流速）和面积 $\ R^{2}\$ 条。

双重积分在数学上由符号表示 $\ ”∫∫_R”$，表示区域“R”上的双重积分，后跟函数 f（x， y） 和区域元素 dA。

双重积分也可以表示为迭代积分：

$\begin{array}{l}\ ∫∫_{R}f（x，y）\ dA =\ ∫∫_{R}f（x，y）\ dx\ dy\end{array}$

如何求解双积分？

要计算二维函数的双重积分，请按照下列步骤操作：

• 首先，指定区域（用 R 表示）
• 现在，用符号形式写出双积分： $\ ∫∫_R f（x， y） dA$
• 对一个变量的函数 f（x， y） 执行内积分，并将第二个变量视为常数
• 记下结果并将其集成到第二个变量中，使第一个变量保持为常数
• 您将得到最终结果，表示在区域 R 上计算的双重积分

例：

计算双重积分 $\ x^{2}\ + \ 3xy^{2}\ + \ xy$

解决方案：

第 1 步：计算变量 x 的内积分

 $\ ∫_{0}^{1} （x^2 + 3xy^2 + xy） \， dx$

$\ = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{3}{2}x^2y^2 + \frac{x^2}{2}y \right]_{0}^{1}$

$\ = \left（ \frac{1^3}{3} + \frac{3}{2}（1）y^2 + \frac{1^2}{2}y \right） - \left（ \frac{0^3}{3} + \frac{3}{2}（0）y^2 + \frac{0^2}{2}y \right）$

$\ = \left（ \frac{1}{3} + \frac{3}{2}y^2 + \frac{1}{2}y \right） - 0$ $= \frac{1}{3} + \frac{3}{2}y^2 + \frac{1}{2}y$

第 2 步：现在对变量 y 的第 1 步中获得的结果进行积分

$\ ∫_{0}^{1} \left（ \frac{1}{3} + \frac{3}{2}y^2 + \frac{1}{2}y \right） \， dy$

$\ = \left[ \frac{1}{3}y + \frac{1}{2}y^3 + \frac{1}{4}y^2 \right]_{0}^{1}$

$\ = \left（ \frac{1}{3}（1） + \frac{1}{2}（1）^3 + \frac{1}{4}（1）^2 \right） - \left（ \frac{1}{3}（0） + \frac{1}{2}（0）^3 + \frac{1}{4}（0）^2 \right）$

$\ = \left（ \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right） - 0$

$\ = \frac{13}{12}$