欧拉复数公式
首先，你可能已经看过著名的“欧拉公式”：
eiπ + 1 = 0
这样一个整齐的等式组合在一起似乎绝对是神奇的：
- e（欧拉数)
- i（单位虚数)
- π（在许多有趣地区出现的着名数字pi）
- 1（第一个计数数字）
- 0（零)
并且还具有加法，乘法和指数的基本运算！
但是，如果你想通过数学进行一次有趣的旅行，你会发现它是如何产生的。
发现
那是在1740年左右，数学家们对虚数很感兴趣。
虚数，平方时给出负数
这通常是不可能的（尝试平方一些数字，记住乘以负数会得到一个正数，看看你是否能得到一个负数结果），但想象一下你可以做到！
我们可以有这个特殊的数字（称为imagial）：
i2 = −1
有一天，莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）乐于研究虚数，他采用了这个众所周知的泰勒级数：
ex = 1 + x + x22! + x33! + x44! + x55! + ...
他把我放进去：
eix = 1 + ix + (ix)22! + (ix)33! + (ix)44! + (ix)55! + ...
因为 i2 = −1，所以它简化为：
eix = 1 + ix −x22!−ix33! + x44! + 九五5!− ...
现在将所有 i 项分组到末尾：
eix = 1 + ix − x22! − ix33! + x44! + ix55! − ...
这是奇迹...这两个组实际上是cos和sin的泰勒级数：
| cos x = 1 −x22! + x44!− ... |
| sin x = x −x33! + x55!− ... |
因此，它简化为：
eix = 科斯 x + i 罪恶 x
当他发现这一点时，他一定很开心！
它现在被称为欧拉公式。
让我们试一试：
示例：当 x = 1.1 时
注意：我们使用的是弧度，而不是度。
答案是实数和虚数的组合，它们一起称为复数。
我们可以在复平面上绘制这样一个数字（实数向左-向右，虚数上下）：
这里我们显示数字0.45 + 0.89 i
，这与e1.1i相同
让我们再画一些！
一个圆圈！
是的，将欧拉公式放在该图上会产生一个圆：
eix 产生半径为 1 的圆
当我们包括r的半径时，我们可以通过找到x和r的正确值将任何点（例如3 + 4i）转换为re i x形式：
示例：数字 3 + 4i
为了将 3 + 4i 转换为 reix 形式，我们执行笛卡尔到极坐标的转换：
- r = √（32 + 42） = √（9+16） = √25 = 5
- x = tan-1 （ 4 / 3 ） = 0.927 （到 3 位小数）
所以 3 + 4i 也可以是 5e0.927 i
这是另一种形式
这基本上是拥有复数的另一种方式。
事实证明，这非常有用，因为在许多情况下（例如乘法），使用reix形式比a + bi形式更容易。
Plotting eiπ
最后，当我们计算 x = π的欧拉公式时，我们得到：
这是eiπ创建的点（我们的讨论开始的地方）：
eiπ = −1 可以重新排列为：
eiπ + 1 = 0
著名的欧拉等式。
脚注：事实上，所有这些都是真的：
